Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-ax²
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)2＜a＜3時，求函數(shù)f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，則2a≤e^x在（0，+∞）上恒成立．運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到a的取值范圍；
（Ⅱ）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x（e^x-2a），判斷出在[0，ln2a]單調(diào)遞減，[ln2a，a]單調(diào)遞增，判斷求出最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x（e^x-2a），
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
即有f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
則2a≤e^x在（0，+∞）上恒成立．
由于e^x＞1，
則2a≤1，解得a≤$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）∵f（x）=（x-1）e^x-ax²，
∴f′（x）=x（e^x-2a），
當(dāng)a∈（2，3）時，f′（x）=0，x=0，x=ln2a；
f′（x）＞0，x＜0，x＞ln2a；
f′（x）＜0，0＜x＜ln2a，
∵令m（x）=x-ln2x，
m′（x）=$\frac{x-1}{x}$，
m′（x）＞0，x＞1，m′（x）＜0，0＜x＜1，
m′（x）=$\frac{1-x}{x}$=0．x=1
∴m（x）_min=1-ln2＞0，
∴x＞ln2x即a＞ln2a，
∵x∈[0，a]，
∴[0，ln2a]單調(diào)遞減，[ln2a，a]單調(diào)遞增，
f（x）_min=2a（ln2a-1）-a（ln2a）²，
f（0）=-1，f（a）=（a-1）e^a-a³，
∵當(dāng)a∈（2，3）時，
∴f（a）=（a-1）e^a-a³＞f（0）=-1，
∴函數(shù)f（x）在[0，a]上的最大值為（a-1）e^a-a³．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．