Question

【題目】給定，，，所對(duì)的邊分別是，，，在所在平面作直線與的某兩邊相交，沿將折成一個(gè)空間圖形，將由分成的小三角形的不在上的頂點(diǎn)與另一部分的頂點(diǎn)連接，形成一個(gè)三棱錐或四棱錐。問(wèn)：

（1）當(dāng)時(shí)，如何作，并折成何種錐體，才能使所得錐體體積最大？（需詳證）

（2）當(dāng)時(shí)，如何作，并折成何種錐體，才能使所得錐體體積最大？（敘述結(jié)果，不要證明）

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由棱錐的體積高底面積，易知要使錐體體積最大，則折線的兩部分所在平面互相垂直。

如圖所設(shè)，，

于是，當(dāng)沿折起，并與成直二面角時(shí)，所形成的錐體體積為

當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)成立。

所以，當(dāng)與，邊交于，，，并且所在平面和四邊形所在平面垂直時(shí)，棱錐體積最大。

（2）當(dāng)和，邊交于，，，并且所在平面和四邊形所在平面垂直時(shí)，錐體體積最大。

（2）的證明提示：

分三步討論。

第一步：證明滿足條件的必定截成一個(gè)以為底的等腰三角形。

1.如圖，如果，要證明當(dāng)時(shí)，為最大。

2.如果（注意），則由所給條件，有。因此，當(dāng)個(gè)重合時(shí)，最大。

3.如果從點(diǎn)或點(diǎn)出發(fā)考慮，我們也可以得到類似結(jié)構(gòu)。

第二步：證明為問(wèn)題要求的位置時(shí)，必與的兩鄰邊相交于，，并且。

第三步：討論的具體位置。