Question

【題目】已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率為，是平面內(nèi)兩點(diǎn)，滿足，線段的中點(diǎn)在橢圓上，周長為12.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過的直線與橢圓交于，求（其中為坐標(biāo)原點(diǎn))的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）連接，由向量的性質(zhì)得出點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，結(jié)合中位線定理以及橢圓的性質(zhì)得出，再由離心率公式得出，進(jìn)而得出，即可得出橢圓方程；

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，將直線，代入橢圓方程，得出坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積公式得出；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，并代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理得出，的值，由判別式得出的范圍，求出，利用向量的數(shù)量積公式得出，最后由不等式的性質(zhì)得出其范圍.

（1）連接，，，

是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，

由橢圓的定義知，，

周長為

由離心率為知，，解得

橢圓的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，代入橢圓方程解得，

此時(shí)，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為

代入橢圓的方程整理得，

設(shè)，則，

，解得

=

，，，

綜上所述，的取值范圍為.