Question

17．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的動(dòng)弦BC平行于虛軸，M，N是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，求直線MB，CN的交點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 利用三點(diǎn)共線建立方程，利用B（x₀，y₀）在雙曲線上，化簡(jiǎn)即可求得軌跡方程．

解答 解：設(shè)B（x₀，y₀），C（x₀，-y₀），直線MB與直線NC的交點(diǎn)P（x，y），
∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右頂點(diǎn)分別為M、N，
∴M（-a，0），N（a，0）
∴由M、P、B三點(diǎn)共線，得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$=$\frac{y}{x+a}$，…①
由N、C、P三點(diǎn)共線，得$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$=$\frac{y}{x-a}$，…②
聯(lián)立①②，解得x₀=$\frac{{a}^{2}}{x}$，y₀=$\frac{ay}{x}$，
∵B（x₀，y₀）在雙曲線上，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，
∴所求軌跡的方程為$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$-$\frac{{a}^{2}{y}^{2}}{^{2}{x}^{2}}$=1，
化簡(jiǎn)得，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（x≠0，y≠0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線方程和性質(zhì)，考查三點(diǎn)共線的知識(shí)和化簡(jiǎn)整理的能力，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．