Question

【題目】如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，
①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是 ．

Answer 1

【答案】②③④
【解析】解：將正四面體的平面展開圖復原為正四面體A（B、C）﹣DEF，如圖：

對于①，G、H分別為DE、BE的中點，則GH∥AD，而AD與EF異面，故GH與EF不平行，故①錯誤；
對于②，BD與MN為異面直線，正確（假設BD與MN共面，則A、D、E、F四點共面，與ADEF為正四面體矛盾，故假設不成立，故BD與MN異面）；
對于③，依題意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，故GH與MN成60°角，故③正確；
對于④，連接GF，A點在平面DEF的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，
而AF∥MN，∴DE與MN垂直，故④正確．
綜上所述，正確命題的序號是②③④，
故答案為：②③④．
正四面體的平面展開圖復原為正四面體A（B、C）﹣DEF，①，依題意，GH∥AD，而AD與EF異面，從而可判斷GH與EF不平行；②，假設BD與MN共面，可得A、D、E、F四點共面，導出矛盾，從而可否定假設，肯定BD與MN為異面直線；③，依題意知，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，于是可判斷GH與MN成60°角；④，連接GF，那么A點在平面DEF的射影肯定在GF上，通過線面垂直得到線線垂直．