Question

正三棱錐的高為1，底面邊長為2

3

，內(nèi)有一個球與四個面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為（　�。�

• A、

  5

  2

• B、

  3

  -1
• C、

  1

  2

• D、

  2

  -1

Answer 1

考點：球的體積和表面積,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：過點P作PD⊥平面ABC于D，連結(jié)并延長AD交BC于E，連結(jié)PE，△ABC是正三角形，AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．由此能求出棱錐的全面積和體積．設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點，棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐，由此能求出球的半徑．

解答： 解：如圖，過點P作PD⊥平面ABC于D，
連結(jié)并延長AD交BC于E，連結(jié)PE，△ABC是正三角形，
∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．
∵AB=2

3

，
∴S_△ABC=3

3

，DE=1，PE=

2

．
S_全=3×

1

2

×2

3

×

2

+3

3

=3

6

+3

3

，
∵PD=1，∴V=

3

設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點，
棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐，
則r=

3 3

3 6 +3 3

=

2

-1
故選：D．

點評：本題考查棱錐的全面積和體積的求法，考查球的表面積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．