Question

5．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，以|F₁F₂|為直徑的圓與雙曲線交于A，B，C，D四點，且四邊形ABCD的一條對角線所在的直線的斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 5

Answer 1

分析 四邊形ABCD的一條對角線所在的直線的斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得四邊形ABCD的一條對角線所在的直線的傾斜角為30°，
從而（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，$\frac{1}{2}$c）在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵四邊形ABCD的一條對角線所在的直線的斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴四邊形ABCD的一條對角線所在的直線的傾斜角為30°，
∴（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，$\frac{1}{2}$c）在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上，
∴$\frac{3{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{{c}^{2}}{4^{2}}$=1，
∴3e⁴-8e²+4=0，
∴e=$\sqrt{2}$，
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的離心率，考查學生分析解決問題的能力，確定（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，$\frac{1}{2}$c）在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上是關(guān)鍵．