Question

（本題滿分分）

已知函數(shù)和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、．

（Ⅰ）設(shè)，試求函數(shù)的表達(dá)式；

（Ⅱ）是否存在，使得、與三點(diǎn)共線．若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對(duì)任意的正整數(shù)，在區(qū)間內(nèi)總存在個(gè)實(shí)數(shù)

，，使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，

 ，   切線的方程為：，

又切線過(guò)點(diǎn)， 有，

即，   ………………………………………………（1）  …… 2分

同理，由切線也過(guò)點(diǎn)，得．…………（2）

由（1）、（2），可得是方程的兩根，

   ………………（ * ）             ……………………… 4分

           ，

把（ * ）式代入,得,

因此，函數(shù)的表達(dá)式為．   ……………………5分

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)、與共線時(shí)，，＝，

即＝，化簡(jiǎn)，得，

，．       ………………（3）     …………… 7分

把（*）式代入（3），解得．

存在，使得點(diǎn)、與三點(diǎn)共線，且 ．       ……………………9分

（Ⅲ）解法：易知在區(qū)間上為增函數(shù)，

，

則．

依題意，不等式對(duì)一切的正整數(shù)恒成立，   …………11分

，

即對(duì)一切的正整數(shù)恒成立，．

， ，

．

由于為正整數(shù)，．                   ……………………………13分

又當(dāng)時(shí)，存在，，對(duì)所有的滿足條件．

因此，的最大值為．                       ……………………………14分

解法：依題意，當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度最小時(shí)，得到的最大值，即是所求值．

，長(zhǎng)度最小的區(qū)間為，           …………………11分

當(dāng)時(shí)，與解法相同分析，得，

解得．                             ……………………………13分

后面解題步驟與解法相同（略）．