Question

設(shè)D是棱長為4的正四面體P₁P₂P₃P₄及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合，點P₀是正四面體P₁P₂P₃P₄的中心，若集合S={P∈D||PP₀|≤|PP_i|，i=1，2，3，4}，則集合S表示的區(qū)域的體積是

101 2

24

．

Answer 1

分析：由集合S={P|P∈D，|PP₀|≤|PP_i|，i=1，2，3，4}，則P點應(yīng)位于過P₀P_i的中點的四個垂面及正四面體的四個側(cè)面之內(nèi)，又由D是正四面體及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合，我們易畫出滿足條件的圖象，并判斷其形狀，最后由正四面體的體積減去四個小正四面體的體積即可．

解答：解：如圖所示，

分別作出過P₀P₁、P₀P₂、P₀P₃、P₀P₄的中點的且與各線段垂直的面，
不妨設(shè)P₀P₁的垂面為ABC，垂足為H，若|PP₀|=|PP₁|，則點P在面ABC上，若|PP₀|≤|PP₁|，則點P在面ABC的與P₀位置相同的一側(cè)．同理其它四個面也是，
則P點應(yīng)位于四個垂面及正四面體所圍成的區(qū)域內(nèi)，
集合S表示的區(qū)域的體積是正四面體的體積減去四個相等的小正四面體的體積．
因為正四棱錐的棱長等于4，所以高為

4 6

3

，
所以P₀P₁=

3

4

×

4

3

6

=

6

，所以四面體P₁-ABC的地面ABC上的高P1H=

6

2

，
設(shè)四面體P₁-ABC的棱長為a，則a=

3

2

，
所以VP1-ABC=

1

3

×

1

2

×

3

2

×

3 3

4

×

6

2

=

9 2

32

，
則集合S表示的區(qū)域的體積V=

1

3

×

1

2

×4×2

3

×

4 6

3

-4×

9 2

32

=

101 2

24

．
故答案為

101 2

24

．

點評：本題考查的知識點是不等式表示的平面區(qū)域，根據(jù)|PP₀|≤|PP_i|，畫出滿足條件的圖形是解答本題的關(guān)鍵，此題是中檔題．