Question

如圖，在三棱錐中，底面，，為的中點，為的中點，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求與平面成角的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)點在線段上，且，平面，

求實數(shù)的值.

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為 底面，底面，

所以 ，                                 ………… 1分

又因為 ， ， 所以 平面，………… 2分

又因為 平面，    所以 .           ……… 3分

因為 是中點，所以 ，

又因為 ，所以 平面.   …………… 5分

（Ⅱ）解：在平面中，過點作

因為 平面，所以 平面，

由 底面，得，，兩兩垂直，

所以以為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸如圖建立空間直角坐標系，則，，

，，，

設(shè)平面的法向量為，   因為 ，，

由  得      令，得.………… 7分

設(shè)與平面成角為，   因為 ，

所以 ，

即 .  …… 9分

（Ⅲ）解：因為 ，，     所以 ，

又因為 ，所以 . … 11分

因為 平面，平面的法向量，

所以 ，         解得 .             ……… 13分