Question

【題目】日照一中為了落實(shí)“陽(yáng)光運(yùn)動(dòng)一小時(shí)”活動(dòng)，計(jì)劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個(gè)占地面積為S的矩形AMPN健身場(chǎng)地．如圖，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在AB上，且P點(diǎn)在斜邊BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．

（1）試用x表示S，并求S的取值范圍；

（2）若在矩形AMPN以外（陰影部分）鋪上草坪．已知：矩形AMPN健身場(chǎng)地每平方米的造價(jià)為，草坪的每平方米的造價(jià)為（k為正常數(shù)）．設(shè)總造價(jià)T關(guān)于S的函數(shù)為T=f（S），試問(wèn)：如何選取|AM|的長(zhǎng)，才能使總造價(jià)T最低．

Answer 1

【答案】（1）（2）12米或18米

【解析】

試題（1）根據(jù)題意，分析可得，欲求健身場(chǎng)地占地面積，只須求出圖中矩形的面積即可，再結(jié)合矩形的面積計(jì)算公式求出它們的面積即得，最后再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出其范圍；

（2）對(duì)于（1）所列不等式，考慮到其中兩項(xiàng)之積為定值，可利用基本不等式求它的最大值，從而解決問(wèn)題．

解：（1）在Rt△PMC中，顯然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°

∴|PM|=|MC|tan∠PCM=（30﹣x），…2分

矩形AMPN的面積S=|PM||MC|=x（30﹣x），x∈[10，20]…4分

于是200≤S≤225為所求．…6分

（2）矩形AMPN健身場(chǎng)地造價(jià)T1=37k…7分

又△ABC的面積為450，即草坪造價(jià)T2=S）…8分

由總造價(jià)T=T1+T2，∴T=25k（+），200≤S≤225．…10分

∴T=25k（+），200≤S≤225

∵+≥12，…11分

當(dāng)且僅當(dāng)=即S=216時(shí)等號(hào)成立，…12分

此時(shí)x（30﹣x）=216，解得x=12或x=18，

所以選取|AM|的長(zhǎng)為12米或18米時(shí)總造價(jià)T最低．…14分．