Question

【題目】已知矩形和菱形所在平面互相垂直，如圖，其中，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).

（Ⅰ）試問在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線平面？若存在，請(qǐng)證明平面，并求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（Ⅱ）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）連接，得，進(jìn)而得到直線平面，利用平行線的性質(zhì).

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，進(jìn)而得到面，得到，，以為空間原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

求得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的大小.

試題分析：（Ⅰ）作的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求的點(diǎn).

證明：連接，

∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，

∴，

又平面，平面，

∴直線平面.

∵，，

∴，

∴.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

又面面，面面，面，

所以面.

故，.

以為空間原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

∵，，

∴為正三角形，，

∴，，，，

∴，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則由，可得

令，則.

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則由，可得

令，則.

則，

設(shè)二面角的平面角為，則，

∴二面角的正弦值為.