Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，四邊形為菱形．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若，，二面角的余弦值為，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）分別證明和即可；

（Ⅱ）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，BC所在的直線為x軸和z軸，以過B點(diǎn)垂直平面的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，首先算出平面的法向量的坐標(biāo)，為平面的一個(gè)法向量，然后由二面角的余弦值為求出，然后可算出三棱錐的體積.

（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以．

因?yàn)?/span>平面，平面，所以．

又因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，BC所在的直線為x軸和z軸，

以過B點(diǎn)垂直平面的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．

設(shè)，則，，，

．所以，．

設(shè)平面的法向量為，則

即令，得．

由條件知為平面的一個(gè)法向量．

設(shè)二面角的平面角為，易知為銳角．

則，解得．

所以．