Question

【題目】已知f（x）=x2﹣a|x﹣1|+b（a＞0，b＞﹣1）
（1）若b=0，a＞2，求f（x）在區(qū)間[0，2]內(nèi)的最小值m（a）；
（2）若f（x）在區(qū)間[0，2]內(nèi)不同的零點恰有兩個，且落在區(qū)間[0，1），（1，2]內(nèi)各一個，求a﹣b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：b=0，a＞2時，f（x）=x2﹣a|x﹣1|，

當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=x2+ax﹣a，且在[0，1]遞增，

可得f（0）取得最小值﹣a；

當(dāng)1＜x≤2時，f（x）=x2﹣ax+a， ＞1，

當(dāng)a＞4時， ＞2，在（1，2]遞減，可得最小值f（2）=4﹣a；

當(dāng)2＜a≤4時，1＜ ≤2，可得f（ ）取得最小值，且為a﹣ ．

由﹣a＜4﹣a，a﹣ ﹣（﹣a）= ＞0（2＜a≤4），

即有a﹣ ＞﹣a．

綜上可得，m（a）=﹣a；

（2）解：由f（x）= ，

當(dāng)0≤x＜1時，f（x）遞增，可得f（0）f（1）≤0，

即為（b﹣a）（1+b）≤0①

當(dāng)1＜x≤2時，f（x）有一個零點，可得f（1）f（2）≤0或f（ ）=0（2＜a≤4），

即為（1+b）（4﹣a+b）≤0或b= ﹣a②

由 或 或a﹣b= （2＜a≤4），

可得a﹣b≤0或a﹣b≥4或3＜a﹣b≤4，

綜上可得a﹣b的范圍是（﹣∞，0]∪（3，+∞）

【解析】（1）討論當(dāng)0≤x≤1時，當(dāng)1＜x≤2時，同時對a討論，可得f（x）的單調(diào)性，可得最小值；（2）將f（x）寫成分段函數(shù)式，討論當(dāng)0≤x＜1時，當(dāng)1＜x≤2時，由函數(shù)的零點存在定理，可得不等式組，解不等式即可得到所求范圍．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握當(dāng)時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．