Question

已知

（1）求函數(shù)在上的最小值；

（2）對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：對(duì)一切，都有成立.

 

Answer 1

【答案】

(1) ;（2）；（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）先求的根得，然后討論與定義域的位置，分別考慮其單調(diào)性，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032404422343755726/SYS201403240442565937153088_DA.files/image006.png">，故只有兩種情況①，此時(shí)0，最小值為；②，此時(shí)遞減，遞增，故最小值為；（2）將不等式參變分離得，，記函數(shù)，只需求此函數(shù)的最小值即可；（3）證明，一般可構(gòu)造差函數(shù)或商函數(shù)，即，或（需考慮的符號(hào)），然后只需考慮函數(shù)的最值，如果上述方法不易處理，也可說明，雖然這個(gè)條件不是的等價(jià)條件，但是有此條件能充分說明成立，該題可以先求先將不等式恒等變形為，然后分別求的最小值和函數(shù)

的最大值即可.

試題解析：（1）由已知知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032404422343755726/SYS201403240442565937153088_DA.files/image029.png">，，

當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增.

①當(dāng)時(shí)，沒有最小值；

②當(dāng)，即時(shí)，；

③當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，；

（2），則，

設(shè)，則，

①單調(diào)遞減，②單調(diào)遞增，

，對(duì)一切恒成立，.

（3）原不等式等價(jià)于，

由（1）可知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，

設(shè)，則，

易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，

    從而對(duì)一切，都有成立.

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性方面的應(yīng)用；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.