Question

【題目】已知橢圓：在左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為點(diǎn)，若是面積為的等邊三角形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知，是橢圓上的兩點(diǎn)，且，求使的面積最大時(shí)直線的方程（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

Answer 1

【答案】解（1）；（2）或.

【解析】

（1）由是面積為的等邊三角形，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 的方程組，求出 、，即可得結(jié)果;（2）先證明直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，利用弦長公式可得 ，化簡得.原點(diǎn)到直線的距離為，的面積，當(dāng)最大時(shí)，的面積最大.由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

（1）由是面積為的等邊三角形，得，

所以，，從而，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1）知，當(dāng)軸時(shí)，，則為橢圓的短軸，故有，，三點(diǎn)共線，不合題意.

所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，點(diǎn)，聯(lián)立方程組消去，得，

所以有，，

則 ，

即，化簡得.

因?yàn)?/span>，所以有且.

原點(diǎn)到直線的距離為，的面積，

所以當(dāng)最大時(shí)，的面積最大.

因?yàn)?/span>，而，

所以當(dāng)時(shí)，取最大值為3，面積的最大值.

把代入，得，所以有，

即直線的方程為或.