Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為 (為參數(shù))

(1)求點(diǎn)的直角坐標(biāo)；化曲線(xiàn)的參數(shù)方程為普通方程；

(2)設(shè)為曲線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，以為對(duì)角線(xiàn)的矩形的一邊垂直于極軸，求矩形周長(zhǎng)的最小值，及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）最小周長(zhǎng)為4，點(diǎn)．

【解析】試題分析：（1）利用 得點(diǎn)的直角坐標(biāo)；利用平方關(guān)系 消參數(shù)將曲線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程；（2）利用橢圓參數(shù)方程表示點(diǎn)坐標(biāo)，并表示矩形周長(zhǎng)： ．最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)確定最值.

試題解析：（1）點(diǎn)的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為： ．

由消參數(shù)得．

（2）設(shè)根據(jù)題意，得到，

則： ， ，

所以矩形的周長(zhǎng)為： ．

由知當(dāng)時(shí)，

所以矩形的最小周長(zhǎng)為4，點(diǎn)．