Question

【題目】如圖，在多面體中，底面是邊長為的菱形， ，四邊形是矩形，平面平面， ， 是的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）;（3）.

【解析】試題分析：（1）由平面 平面，及 ，得 平面（平面與平面垂直的性質(zhì)）；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量的坐標(biāo)及 ，可得 與平面所成角的夾角的正弦值；（3）由（2）的空間直角坐標(biāo)，可求得 的法向量 ，平面 的法向量，得 ，由二面角為銳角，得所求二面角的值。

（1）證明：因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，且四邊形是矩形，所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面.

（2）設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)樗倪呅?/span>是矩形， 分別為， 的中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)?/span>平面，所以平面，

由，得兩兩垂直,所以以為原點(diǎn)， 所在直線分別為軸， 軸， 軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)榈酌?/span>是邊長為的菱形， ， ，

所以.

因?yàn)?/span>平面，所以平面的法向量.

設(shè)直線與平面所成角為，由，得

，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（3）由（2）得， ， ，

設(shè)平面的法向量為，

所以即

令，得，由平面，得平面的法向量為，

則，

由圖可知二面角為銳角，

所以二面角的大小為.