Question

11．設(shè)點P是邊長為2的正三角形ABC的三邊上的動點，則$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）的取值范圍為[-$\frac{9}{8}$，2]．

Answer 1

分析 以AB中點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，可得A（-1，0），B（1，0），C（0，$\sqrt{3}$），討論P(yáng)在AB，BC，CA上，分別設(shè)P的坐標(biāo)，可得向量PA，PB，PC的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)表示，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，即可得到所求取值范圍．

解答 解：以AB中點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
可得A（-1，0），B（1，0），C（0，$\sqrt{3}$），
當(dāng)P在線段AB上，設(shè)P（t，0），（-1≤t≤1），
$\overrightarrow{PA}$=（-1-t，0），$\overrightarrow{PB}$=（1-t，0），$\overrightarrow{PC}$=（-t，$\sqrt{3}$），
即有$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=（-1-t，0）•（1-2t，$\sqrt{3}$）
=（-1-t）（1-2t）+0×$\sqrt{3}$=2t²+t-1=2（t-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$，
由-1≤t≤1可得t=$\frac{1}{4}$取得最小值-$\frac{9}{8}$，t=-1時，取得最大值0；
當(dāng)P在線段CB上，設(shè)P（m，$\sqrt{3}$（1-m）），（0≤m≤1），
$\overrightarrow{PA}$=（-1-m，$\sqrt{3}$（m-1）），$\overrightarrow{PB}$=（1-m，$\sqrt{3}$（m-1）），$\overrightarrow{PC}$=（-m，$\sqrt{3}$m），
即有$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=（-1-m，$\sqrt{3}$（m-1））•（1-2m，$\sqrt{3}$（2m-1））
=（-1-m）（1-2m）+$\sqrt{3}$（m-1）×$\sqrt{3}$（2m-1）=2（2m-1）²，
由0≤m≤1可得m=$\frac{1}{2}$取得最小值0，m=0或1時，取得最大值2；
當(dāng)P在線段AC上，設(shè)P（n，$\sqrt{3}$（1+n）），（-1≤n≤0），
$\overrightarrow{PA}$=（-1-n，-$\sqrt{3}$（1+n）），$\overrightarrow{PB}$=（1-n，-$\sqrt{3}$（1+n）），$\overrightarrow{PC}$=（-n，-$\sqrt{3}$n），
即有$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=（-1-n，-$\sqrt{3}$（1+n））•（1-2n，-$\sqrt{3}$（1+2n））
=（-1-n）（1-2n）+$\sqrt{3}$（1+n）×$\sqrt{3}$（1+2n）=8n²+10n+2=8（n+$\frac{5}{8}$）²-$\frac{9}{8}$，
由-1≤n≤0可得n=-$\frac{5}{8}$取得最小值-$\frac{9}{8}$，n=0時，取得最大值2；
綜上可得$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）的取值范圍是[-$\frac{9}{8}$，2]．
故答案為：[-$\frac{9}{8}$，2]．

點評 本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查坐標(biāo)法的運(yùn)用，同時考查分類討論和轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．