Question

已知圓M：x²＋(y－2)²＝1，Q是x軸上的動點(diǎn)，QA，QB分別切圓M于A，B兩點(diǎn)．

(1)若Q(1,0)，求切線QA，QB的方程；

(2)求四邊形QAMB面積的最小值；

(3)若|AB|＝，求直線MQ的方程．

Answer 1

解　(1)設(shè)過點(diǎn)Q的圓M的切線方程為x＝my＋1，

則圓心M到切線的距離為1，

∴＝1，∴m＝－或0，

∴QA，QB的方程分別為3x＋4y－3＝0和x＝1.

(2)∵MA⊥AQ，∴S_{四邊形MAQB}＝|MA|·|QA|＝|QA|＝＝.

∴四邊形QAMB面積的最小值為.

(3)設(shè)AB與MQ交于P，

則MP⊥AB，MB⊥BQ，∴|MP|＝＝.

在Rt△MBQ中，|MB|²＝|MP||MQ|，即1＝|MQ|，

∴|MQ|＝3，∴x²＋(y－2)²＝9.

設(shè)Q(x,0)，則x²＋2²＝9，

∴x＝±，∴Q(±，0)，

∴MQ的方程為2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.