Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（2）.

【解析】

（1）利用平方關(guān)系消去參數(shù)即可得到曲線的普通方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求得曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）解法1：根據(jù)直線的斜率公式，求得直線的斜率的取值范圍，進(jìn)而取得實(shí)數(shù)的取值范圍.解法2：利用方程組，轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)不相等實(shí)根，借助二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

（1）解：曲線的普通方程為，

把，代入，得

直線的直角坐標(biāo)方程為，即.

（2）解法1：由直線：，知直線恒過點(diǎn).

由，當(dāng)時(shí)，得，

所以曲線過點(diǎn)，.

則直線的斜率為，

直線的斜率為.

因?yàn)橹本�的斜率為，且直線與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

所以，即.

所以的取值范圍為.

解法2：由，消去得，

依題意，得在上有兩個(gè)不相等實(shí)根.

設(shè)，

則，

解得.

所以的取值范圍為.