Question

4．等差數列{a_n}的前n項和為S_n，如果存在正整數k和l（k≠l），使得S_k=kl²，S_l=lk²，則（　�。�

• A． S_k+1的最小值為-6
• B． S_k+l的最大值為-6
• C． S_k+1的最小值為6
• D． S_k+l的最小值為6

Answer 1

分析 根據等差數列的前n項和公式，進行遞推即可得到結論．

解答 解：∵S_k=ka₁+k（k-1）$\fracca9pjoc{2}$ 且S_k=kl²，
∴ka₁+k（k-1）$\fracmfeth2v{2}$=kl²，
a₁+（k-1）$\fracrixmqem{2}$=l²…①
∵S₁=la₁+l（l-1）$\fracuio89v0{2}$ 且S_k=lk²
∴l(xiāng)a₁+l（l-1）$\frac3vdcibb{2}$=lk²
a₁+（l-1）$\frac9wsi2c2{2}$=k²…②
①-②（k-l）$\fracdbviqvo{2}$=l²-k²
化簡得 d=-2（k+l）…③
則：S_k+l=（k+l）a₁+（k+l）（k+l-1）$\fracbshuvva{2}$，
=（k+l）[a₁+（k+l-1）$\frachfuauz4{2}$]
=（k+l）[a₁+（k-1）$\fracovu9ee4{2}$+$\frachmx3sse{2}$l]，
代入①、③式值：
S_k+1=-kl（k+l）
S_k+1隨k，l的值增大而遞減，所以S_k+1有最大值，無最小值
當k，l取最小值1，2時S_k+1最大
S_k+1（max）=-1×2（1+2）=-6，
故選：B．

點評 本題主要考查等差數列的應用，利用等差數列的通項公式以及前n項公式進行推理是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大，考查學生的運算和推理能力．