Question

9．已知定義在R上的函數(shù)f（x），若f（x）是奇函數(shù)，f（x+1）是偶函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=x²，則f（2015）=（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． 0
• D． 2015²

Answer 1

分析 根據(jù)題意和函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)通過化簡、變形，求出函數(shù)的周期，利用函數(shù)的周期性和已知的解析式求出f（2015）的值．

解答 解：∵f（x）是奇函數(shù)，f（x+1）是偶函數(shù)，
∴f（x+1）=f（-x+1），則f（x+2）=f（-x）=-f（x），即f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
則奇函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，
又∵當0≤x≤1時，f（x）=x²，
∴f（2015）=f（4×504-1）=f（-1）=-f（1）=-1，
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的綜合應用，考查化簡、變形能力，屬于基礎題．