Question

6．已知公比為q的等比數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，且滿足a₁+a₃=$\frac{10}{9}$，a₁a₂a₃=$\frac{1}{27}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{3}{2}$-log₃a_n，證明：$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$＜$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出${a}_{2}=\frac{1}{3}$，從而$\frac{1}{3q}+\frac{1}{3}q=\frac{10}{9}$，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）推導(dǎo)出b_n=$\frac{3}{2}$-log₃a_n=$\frac{3}{2}-lo{g}_{3}（\frac{1}{3}）^{n-1}$=n+$\frac{1}{2}$，從而$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+\frac{1}{2}）（n+\frac{3}{2}）}$=$\frac{1}{n+\frac{1}{2}}-\frac{1}{n+\frac{3}{2}}$，由此利用裂項求和法能證明$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$＜$\frac{2}{3}$．

解答 解：（Ⅰ）∵公比為q的等比數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，且滿足a₁+a₃=$\frac{10}{9}$，a₁a₂a₃=$\frac{1}{27}$．
∴${a}_{2}=\frac{1}{3}$，∴$\frac{1}{3q}+\frac{1}{3}q=\frac{10}{9}$，整理，得：3q²-10q+3=0，
解得q=$\frac{1}{3}$或q=3（舍），
∴${a}_{1}=\frac{{a}_{2}}{q}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}$=1，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式：${a}_{n}=（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
證明：（Ⅱ）∵b_n=$\frac{3}{2}$-log₃a_n=$\frac{3}{2}-lo{g}_{3}（\frac{1}{3}）^{n-1}$=n+$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+\frac{1}{2}）（n+\frac{3}{2}）}$=$\frac{1}{n+\frac{1}{2}}-\frac{1}{n+\frac{3}{2}}$，
∴$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{\frac{3}{2}}-\frac{1}{\frac{5}{2}}+\frac{1}{\frac{5}{2}}-\frac{1}{\frac{7}{2}}$+$…+\frac{1}{n+\frac{1}{2}}-\frac{1}{n+\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+\frac{3}{2}}$＜$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$＜$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列、裂項求和法等基礎(chǔ)知識，是中檔題，解題時要注意推理論證能力、運算求解能力的培養(yǎng)．