Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-tx²+（2t²-1）x+1，g（x）=e^2x-2te^x+2．
（1）若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)F（x）=g（x）+f′（x），若對于任意的實(shí)數(shù)x和t都有F（x）≥m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意得判別式大于0，解出關(guān)于t的不等式即可；
（2）對于任意的實(shí)數(shù)x和t都有F（x）≥m恒成立，問題轉(zhuǎn)化為m≤（e^x-t）²+（x-t）²+1恒成立即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²-2tx+（2t²-1），
若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，
則△=4t²-4（2t²-1）＞0，
解得：-1＜t＜1；
（2）F（x）=g（x）+f′（x）
=e^2x-2te^x+2+x²-2tx+（2t²-1）
=（e^x-t）²+（x-t）²+1≥m，
若對于任意的實(shí)數(shù)x和t都有F（x）≥m恒成立，
則m≤（e^x-t）²+（x-t）²+1≤1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．