Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x．
（1）若α（α∈[0，π]）為函數(shù)f（x）的零點，求α的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)進行化一，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求f（x）在[0，π]上的零點，繼而求出α的值．
（2）由（1）可得函數(shù)解析式，利用三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)求出f（x）的最小正周期和值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x$）
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∵α為函數(shù)f（x）的零點，∴f（α）=2sin（2α+$\frac{π}{3}$）=0
∴$2α+\frac{π}{3}=kπ\(zhòng)\;k∈Z$  k∈Z，∴$α=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$，k∈Z
又∵α∈[0，π]，故$α=\frac{π}{3}$或$α=\frac{5π}{6}$．
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
故最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，值域為[-2，2]．

點評 本題考查了利用化一公式進行化簡函數(shù)，利用性質(zhì)求零點，利用公式求周期與值域，屬于中檔題．