Question

13．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，四個頂點構(gòu)成的菱形的面積是4，圓M：（x+1）²+y²=r²（0＜r＜1）．過橢圓C的上頂點A作圓M的兩條切線分別與橢圓C相交于B，D兩點（不同于點A），直線AB，AD的斜率分別為k₁，k₂．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當r變化時，①求k₁•k₂的值；②試問直線BD是否過某個定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出a，b即可求解橢圓C的方程．
（2）AB：y=k₁x+1，則有$\frac{{|{{k_1}-1}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}}}=r$，化簡得$（{1-{r^2}}）k_1^2-2{k_1}+1-{r^2}=0$，直線AD：y=k₂x+1，同理有$（{1-{r^2}}）k_2^2-2{k_2}+1-{r^2}=0$，推出k₁，k₂是方程（1-r²）k²-2k+1-r²=0的兩實根，故k₁•k₂=1．考慮到r→1時，D是橢圓的下頂點，B趨近于橢圓的上頂點，故BD若過定點，則猜想定點在y軸上．聯(lián)立直線與橢圓方程，求出相關(guān)點的坐標，求出直線BD的方程，推出直線BD過定點．

解答 解：（1）由題設(shè)知，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}×2a×2b=4$，又a²-b²=c²，
解得a=2，b=1．
故所求橢圓C的方程是$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）AB：y=k₁x+1，則有$\frac{{|{{k_1}-1}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}}}=r$，化簡得$（{1-{r^2}}）k_1^2-2{k_1}+1-{r^2}=0$，
對于直線AD：y=k₂x+1，同理有$（{1-{r^2}}）k_2^2-2{k_2}+1-{r^2}=0$，
于是k₁，k₂是方程（1-r²）k²-2k+1-r²=0的兩實根，故k₁•k₂=1．
考慮到r→1時，D是橢圓的下頂點，B趨近于橢圓的上頂點，故BD若過定點，則猜想定點在y軸上．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_1}x+1}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得$（{4k_1^2+1}）{x^2}+8{k_1}x=0$，于是有$B（{\frac{{-8{k_1}}}{4k_1^2+1}，\frac{-4k_1^2+1}{4k_1^2+1}}），D（{\frac{{-8{k_2}}}{4k_2^2+1}，\frac{-4k_2^2+1}{4k_2^2+1}}）$．
直線BD的斜率為${k_{BD}}=\frac{{{k_1}+{k_2}}}{-3}$，
直線BD的方程為$y-\frac{-4k_1^2+1}{4k_1^2+1}=\frac{{{k_1}+{k_2}}}{-3}（{x-\frac{{-8{k_1}}}{4k_1^2+1}}）$，
令x=0，得$y=\frac{-4k_1^2+1}{4k_1^2+1}+\frac{{{k_1}+{k_2}}}{-3}•\frac{{8{k_1}}}{4k_1^2+1}=\frac{20k_1^2+5}{{-3（{4k_1^2+1}）}}=-\frac{5}{3}$，
故直線BD過定點$（{0，-\frac{5}{3}}）$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線恒過定點問題，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．