Question

【題目】設(shè)函數(shù)（，且），（其中為的導(dǎo)函數(shù)）.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的極大值點(diǎn)；

（Ⅱ）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）的極大值點(diǎn)為．（2）見解析

【解析】試題分析：

(1)由題意可得，由導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性可得的極大值點(diǎn)為．

(2)分類討論可得：當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)．

試題解析：

解：（Ⅰ），，解得．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的極大值點(diǎn)為．

（Ⅱ）（1）先考慮時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)，

，，由零點(diǎn)存在性定理知有一個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，由，得

，即，即，令，則．

由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

故，，且總成立，故的圖象如圖，

由數(shù)形結(jié)合知，

①若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)，故時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；

②若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，故時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；

③若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，故時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)．

（2）再考慮的情形，若，則，同上可知，

當(dāng)，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)，即時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)．