Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₁₀=0，且S_n≥-5對(duì)一切n∈N^*恒成立，則此等差數(shù)列{a_n}公差d的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，

  2

  5

  ]
• B、[0，

  2

  5

  ]
• C、[-

  5

  2

  ，0）
• D、[0，

  5

  2

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)出等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)，由S₁₀=0得到首項(xiàng)和公差的關(guān)系，把等差數(shù)列的前n項(xiàng)和用含有公差d和n的代數(shù)式表示，再由關(guān)于n的函數(shù)對(duì)一切n∈N^*恒成立列式求得d的取值范圍．

解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，
由S₁₀=0，得10a1+

10×(10-1)d

2

=10a1+45d=0，
∴a1=-

9

2

d．
由S_n≥-5，得：
na1+

n(n-1)d

2

=-

9d

2

n+

d

2

n2-

d

2

n=

d

2

n2-5dn≥-5．
由S_n≥-5對(duì)一切n∈N^*恒成立，
得dn²-10dn+10≥0對(duì)一切n∈N^*恒成立，
∴d≥0且△≤0，
即100d²-40d≤0．
解得0≤d≤

2

5

．
∴公差d的取值范圍是[0，

2

5

]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了利用二次不等式恒成立的條件求解參數(shù)的范圍，是中檔題．