Question

4．已知函數f（x）=2sinxcosx+2sin²x-1（x∈R），當x∈[0，$\frac{x}{2}$]時，若函數y=f（x）-k有兩個零點，則k的取值范圍為1≤k＜$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由三角恒變換化簡f（x）═sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）；從而可知函數f（x）與函數y=k在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個交點，作函數圖象求解．

解答 解：f（x）=2sinxcosx+2sin²x-1
=sin2x-cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）；
當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，要使函數y=f（x）-k有兩個零點，
只需使函數f（x）與函數y=k在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個交點，
作函數f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]的圖象如下，

結合圖象可得，
1≤k＜$\sqrt{2}$；
故答案為：1≤k＜$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了三角函數的應用及學生作圖與用圖的能力，屬于基礎題．