Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，AD∥BC，AB=BC=CD=1，DA=2，DP⊥平面ABP，O，M分別是AD，PB的中點．
（Ⅰ）求證：PD∥平面OCM；
（Ⅱ）若AP與平面PBD所成的角為60°，求線段PB的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD交OC與N，連接MN．證明MN∥PD．然后證明PD∥平面OCM．
（Ⅱ）通過計算證明AB⊥BD．AB⊥PD．推出AB⊥平面BDP，說明∠APB為AP與平面PBD所成的角，然后求解即可．

解答 （本小題滿分15分）
解：（Ⅰ）連接BD交OC與N，連接MN．
因為O為AD的中點，AD=2，
所以O(shè)A=OD=1=BC．
又因為AD∥BC，
所以四邊形OBCD為平行四邊形，…（2分）
所以N為BD的中點，因為M為PB的中點，
所以MN∥PD．…（4分）
又因為MN?平面OCM，PD?平面OCM，
所以PD∥平面OCM．…（6分）
（Ⅱ）由四邊形OBCD為平行四邊形，知OB=CD=1，
所以△AOB為等邊三角形，所以∠A=60°，…（8分）
所以$BD=\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$，即AB²+BD²=AD²，即AB⊥BD．
因為DP⊥平面ABP，所以AB⊥PD．
又因為BD∩PD=D，所以AB⊥平面BDP，…（11分）
所以∠APB為AP與平面PBD所成的角，即∠APB=60°，…（13分）
所以$PB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$． …（15分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．