Question

14．某公司研制出了一種新產(chǎn)品，其生產(chǎn)這種產(chǎn)品每年需要固定投資80萬(wàn)元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資2萬(wàn)元，年產(chǎn)量為x（x∈N^*）件．當(dāng)年產(chǎn)量不超過(guò)20件時(shí)，年銷售量總收入為（30x-x²）萬(wàn)元；當(dāng)年產(chǎn)量超過(guò)20件時(shí)，年銷售總輸入為210萬(wàn)元．
（1）記該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)為f（x）萬(wàn)元，將f（x）表示為年產(chǎn)量x的函數(shù)；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少件時(shí)，所得年利潤(rùn)最大？并求出最大年利潤(rùn)．

Answer 1

分析 （1）對(duì)x討論，當(dāng)0＜x≤20，x∈N^*時(shí)，當(dāng)x＞20，x∈N^*時(shí)，由利潤(rùn)為收入減成本，即可得到f（x）的解析式；
（2）運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法和一次函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最大值．

解答 解：（1）當(dāng)0＜x≤20，x∈N^*時(shí)，f（x）=30x-x²-（80+2x）=-x²+28x-80；
當(dāng)x＞20，x∈N^*時(shí)，f（x）=210-（80+2x）=-2x+130．
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+28x-80，0＜x≤20，x∈N}\\{-2x+130，x＞20，x∈N}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)0＜x≤20，x∈N^*時(shí)，f（x）=-（x-14）²+116，
當(dāng)x=14時(shí)，f（x）取得最大值116；
當(dāng)x＞20時(shí)，f（x）遞減，即f（x）＜90．
則當(dāng)年產(chǎn)量為14件時(shí)，所得年利潤(rùn)最大，且為116萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用二次函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．