Question

如圖(6)，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，側棱SA⊥底面ABCD，

過A作AE垂直SB交SB于E點，作AH垂直SD交SD于H點，平面

AEH交SC于K點，且AB=1，SA=2．

（1）設點P是SA上任一點，試求的最小值；

（2）求證：E、H在以AK為直徑的圓上；

（3）求平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

（1）將側面SAB繞側棱SA旋轉到與側面SAD在同一平面內，如右圖示，

則當B、P、H三點共線時，取最小值，這時，的

最小值即線段BH的長，設,則，

在中，∵,∴,

在三角形BAH中，有余弦定理得：

∴.

（2）證明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，

∴BC⊥平面SAB，又平面SAB，∴EA⊥BC，又∵AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC ，

又平面SBC，∴EA⊥EK， 同理 AH⊥KH，∴E、H在以AK為直徑的圓上

（3）方法一：如圖，以A為原點,分別以AB、AD、AS所在的直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標系如右圖示，

則S（0，0，2），C（1，1，0），由（1）可得AE⊥SC，AH⊥SC，∴SC⊥平面AEKH，

為平面AEKH的一個法向量，

為平面ABCDF的一個法向量，

設平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的平面角為，

則

∴平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值---14分

【方法二：  由可知,故,

又∵面AEKH，

面AEKH,  ∴面AEKH.  

設平面AEKH平面ABCD=l，∵面AEKH，

∴-

∵BD⊥AC，∴⊥AC，

又BD⊥SA，∴BD⊥平面SAC，又平面SAC，

∴BD⊥AK， ∴⊥AK，

∴為平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的一個平面角

∴平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為．-