Question

將的圖象向右平移個單位長度后，再使平移后的圖象縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數y=f（x）的圖象，將方程xf（x）=1的所有正根按從小到大排成一個數列{a_n}，在以下結論中：
①a_2k+2-a_2k＞2π（k∈N^*）；      ②；
③a_2k-1+a_2k＞（4k-3）π（k∈N^*）； ④a_2k+a_2k+1＞（4k-1）π（k∈N^*）
正確結論的個數有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：項根據的三角函數的圖象變換求出f（x）的解析式，然后將方程xf（x）=1的所有正根轉化成y=f（x）與y=的圖象在第一象限的交點橫坐標，然后畫出兩函數的圖形，結合圖形可判定選項的真假．
解答：解：將的圖象向右平移個單位長度后，
得到圖象的解析式為，
再使平移后的圖象縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到y=f（x）=sinx，
方程xf（x）=1的所有正根即為y=f（x）與y=的圖象在第一象限的交點橫坐標
畫出圖形如下圖

觀察圖形可知
①a_2k+2-a_2k＞2π（k∈N^*）正確；     ②，正確；
③a_2k-1+a_2k＞（4k-3）π（k∈N^*）正確； ④a_2k+a_2k+1＞（4k-1）π（k∈N^*），當k=1時，不成立
故選C．
點評：本題主要考查了函數與方程，以及數列與函數的綜合，同時考查了數形結合的思想，屬于中檔題．