Question

【題目】已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，過(guò)作斜率為的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓.當(dāng)時(shí)，圓的半徑為2.

（1）求的方程；

（2）已知點(diǎn)，對(duì)任意的斜率，圓上是否總存在點(diǎn)滿(mǎn)足，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）依題意，不妨設(shè)在第一象限，當(dāng)時(shí)，，，由圓的直徑可求得，可得拋物線(xiàn)方程.

（2）設(shè)直線(xiàn)：，，，聯(lián)立得，可得出圓的方程，假設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足，則在以為直徑的圓上.由圓與圓的位置關(guān)系可得解.

（1）依題意，不妨設(shè)在第一象限，

當(dāng)時(shí)，，，∴，∴，

∴拋物線(xiàn)方程為.

（2）設(shè)直線(xiàn)：，，，

由得，∴，，

∴，

∴圓的半徑.

又，，∴.

∴圓的方程為.

即，

假設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足，則在以為直徑的圓上.

∴，圓的半徑.

法一：（i）若，圓心距，

∵，

∴圓與圓內(nèi)切，有一個(gè)交點(diǎn)；

（ii）當(dāng)時(shí)，，重合，，

所以對(duì)任意的，圓上存在點(diǎn)，使得.

法二：（i）當(dāng)時(shí)，圓：，即.

聯(lián)立，

①-②得：即，代入②得：

.

，

所以?xún)蓤A相切，有一個(gè)交點(diǎn).

（ii）當(dāng)時(shí)，，重合，，

即對(duì)任意的，圓上存在點(diǎn)，使得.