Question

4．已知直線(xiàn)L：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時(shí)，求直線(xiàn)L與圓C交點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）證明：直線(xiàn)L與圓C相交，并求最短弦的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）先求出當(dāng)α=$\frac{π}{4}$，直線(xiàn)L為：y=x-1，圓C：x²+y²=4，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得2x²-2x-3=0，利用韋達(dá)定理能求出直線(xiàn)L與圓C交點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$）．
（2）直線(xiàn)L過(guò)定點(diǎn)P（1，0），圓C是圓心C（0，0），半徑r=2的圓，由|PC|=1＜2=r，能證明直線(xiàn)L與圓C相交．當(dāng)相交弦與PC垂直時(shí)，相交弦最短．

解答 解：（1）∵直線(xiàn)L：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴$\frac{y}{x-1}$=tanα，
當(dāng)α=$\frac{π}{4}$，直線(xiàn)L為：y=x-1，
∵圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），∴x²+y²=4，
∴圓C是圓心C（0，0），半徑r=2的圓，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得2x²-2x-3=0，
直線(xiàn)L與圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=1，y₁+y₂=（x₁-1）+（x₂-1）=1-2=-1，
∴直線(xiàn)L與圓C交點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$）．
證明：（2）∵直線(xiàn)L：$\frac{y}{x-1}$=tanα，∴直線(xiàn)L過(guò)定點(diǎn)P（1，0），
∵圓C是圓心C（0，0），半徑r=2的圓，
∴|PC|=1，∵|PC|=1＜2=r，
∴直線(xiàn)L與圓C相交．
當(dāng)相交弦與PC垂直時(shí)，相交弦最短，
∴最短弦的長(zhǎng)度d_min=2$\sqrt{{r}^{2}-|PC{|}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓相交弦中點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查直線(xiàn)與圓垂直的證明，考查相交弦最短時(shí)其長(zhǎng)度的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的合理運(yùn)用．