Question

1．下列四個命題中
①命題“若x²-3x-4=0，則x=4”的逆否命題為“若x≠4，則x²-3x-4≠0”
②“x=4”是“x²-3x-4=0”的充分條件
③命題“若m＞0，則方程x²+x-m=0有實根”的逆命題為真命題
④命題“若m²+n²=0，則m=0且n=0”的否命題是“若m²+n²≠0．則m≠0且n≠0”
⑤對空間任意一點O，若滿足$\overrightarrow{OP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{8}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{8}\overrightarrow{OC}$，則P，A，B，C四點一定共面．
其中真命題的為①②⑤（將你認(rèn)為是真命題的序號都填上）

Answer 1

分析 直接寫出命題的逆否命題判斷①；由充分必要條件的判定方法判斷②；舉例說明③錯誤；寫出命題的否命題判斷④；由空間中四點共面的條件判斷⑤．

解答 解：①命題“若x²-3x-4=0，則x=4”的逆否命題為“若x≠4，則x²-3x-4≠0”，故①正確；
②x=4⇒x²-3x-4=0；由x²-3x-4=0，解得：x=-1或x=4．
∴“x=4”是“x²-3x-4=0”的充分不必要條件，故②正確；
③命題“若m＞0，則方程x²+x-m=0有實根”的逆命題為“若方程x²+x-m=0有實根，則m＞0”，是假命題，如m=0時，方程x²+x-m=0有實根；
④命題“若m²+n²=0，則m=0且n=0”的否命題是“若m²+n²≠0．則m≠0或n≠0”，故④錯誤；
⑤∵$\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=1$，∴對空間任意一點O，若滿足$\overrightarrow{OP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{8}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{8}\overrightarrow{OC}$，則P，A，B，C四點一定共面，故⑤正確．
故答案為：①②⑤．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了命題的否命題和逆否命題，訓(xùn)練了充分必要條件的判定方法，考查利用向量法判斷空間中四點共面的條件，屬中檔題．