Question

4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的所對邊分別是a，b，c，有如下下列命題：
①若A＞B＞C，則sinA＞sinB＞sinC；
②若$\frac{cosA}{a}=\frac{cosB}=\frac{cosC}{c}$，則△ABC為等邊三角形；
③若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；
④若（1+tanA）（1+tanB）=2，則△ABC為鈍角三角形；
⑤存在A，B，C，使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立．
其中正確的命題為①②④（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 ①已知不等式利用正弦定理化簡，整理得到結(jié)果，即可做出判斷；
②已知等式利用正弦定理化簡，整理得到結(jié)果，即可做出判斷；
③已知等式利用正弦函數(shù)的性質(zhì)化簡，整理得到結(jié)果，即可做出判斷；
④已知等式整理后，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡，求出C的度數(shù)，即可做出判斷；
⑤由A，B，C為三角形內(nèi)角，得到tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡，整理得到tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故本選項錯誤．

解答 解：①∵A＞B＞C，
∴a＞b＞c，
又$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
∴sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，2R為定值，
∴sinA＞sinB＞sinC，此選項正確；
②∵$\frac{cosA}{a}$=$\frac{cosB}$=$\frac{cosC}{c}$，
由正弦定理得：a=2R•sinA，b=2R•sinB，c=2R•sinC代入，得$\frac{cosA}{sinA}$=$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{cosC}{sinC}$，
∴$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{cosC}$，即tanA=tanB=tanC，
∴A=B=C，
則△ABC是等邊三角形，本選項正確；
③∵sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A+2B=π，
即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，
則△ABC為等腰三角形或直角三角形，本選項錯誤；
④∵（1+tanA）（1+tanB）=2，即1+tanA+tanB+tanAtanB=2，
∴tanA+tanB+tanAtanB=1，即tanA+tanB=1-tanAtanB，
∴$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=1，即tan（A+B）=1，
∴A+B=$\frac{π}{4}$，即C=$\frac{3π}{4}$，
則△ABC為鈍角三角形，本選項正確；
⑤若A、B、C有一個為直角時不成立，
若A、B、C都不為直角，
∵A+B=π-C，
∴tan（A+B）=tan（π-C），即$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-tanC，
則tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，
即⑤錯誤，
故答案為：①②④

點評 此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦定理，兩角和與差的正切函數(shù)公式，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．