Question

5．如圖，三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，則異面直線CM，AB所成的角是$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 取BD中點(diǎn)N，連結(jié)MN，CN，則∠CMN是異面直線CM，AB所成的角，由此利用余弦定理能求出異面直線CM，AB所成的角．

解答 解：取BD中點(diǎn)N，連結(jié)MN，CN，
∵三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，
∴MN∥AB，且MN=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{3}{2}$，
∴∠CMN是異面直線CM，AB所成的角，
CM=$\sqrt{C{D}^{2}-M{B}^{2}}$=$\sqrt{9-1}$=2$\sqrt{2}$，
cos∠BCD=$\frac{B{D}^{2}+C{D}^{2}-B{C}^{2}}{2BD•CD}$=$\frac{9+9-4}{2×3×3}$=$\frac{7}{9}$，
∴CN²=DN²+CD²-2×DN×CD×cos∠BDC=$\frac{9}{4}+9-2×\frac{3}{2}×3×\frac{7}{9}$=$\frac{17}{4}$，
∴cos∠CMN=$\frac{M{N}^{2}+C{M}^{2}-C{N}^{2}}{2•MN•CM}$=$\frac{\frac{9}{4}+8-\frac{17}{4}}{2×\frac{3}{2}×2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$∠CMN=\frac{π}{4}$．
∴異面直線CM，AB所成的角是$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用．