Question

9．設函數(shù)f（x）=msinx+cosx（x∈R）的圖象經(jīng)過點$（{\frac{π}{2}，1}）$．
（1）求y=f（x）的解析式，并求函數(shù)的最小正周期和最大值；
（2）如何由函數(shù)$f（x-\frac{π}{4}）$的圖象得到函數(shù)f（2x）的圖象．

Answer 1

分析 （1）先求得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和最大值，得出結論．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=msinx+cosx（x∈R）的圖象經(jīng)過點$（{\frac{π}{2}，1}）$，
∴$msin\frac{π}{2}+cos\frac{π}{2}=1$，∴m=1，
∴$f（x）=sinx+cosx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，∴函數(shù)的最小正周期T=2π．
當$x=\frac{π}{4}+2kπ（k∈Z）$時，f（x）的最大值為$\sqrt{2}$．
（2）因為函數(shù)$f（x-\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sinx，
先把$f（x-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}sinx$圖象上每一點向左平移$\frac{π}{4}$得到函數(shù)y=$\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）$的圖象，
再把函數(shù)y=$\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）$的圖象上任一點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$，
得y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）=f（2x）的圖象．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性和最大值，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎題．