Question

【題目】已知橢圓： 的長軸長為，且經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由題意知，將點(diǎn)代入橢圓方程， 可得，由此可知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）分別對兩條弦的斜率進(jìn)行討論，當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時、另一條弦的斜率不存在時易得結(jié)論；當(dāng)兩條弦斜率均存在且不為0時，通過設(shè)直線方程并分別與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間距離公式，可得|的表達(dá)式，利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)計算即得結(jié)論．

試題解析：（1）由題意知則，根據(jù)經(jīng)過點(diǎn)， 可得，由此可知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）當(dāng)兩條弦中一條斜率為時，另一條弦的斜率不存在，由題意知，

當(dāng)兩弦斜率均存在且不為時，設(shè)， ，且設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，

將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得，則，

所以 ，

同理 ，

所以 ，令，

則， ， ，設(shè) ，

因為，所以，所以，

所以，綜上可知， 的取值范圍是.