Question

15．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（2）=1，②f（xy）=f（x）+f（y），其中x、y為任意正實數(shù)；③任意正實數(shù)x、y滿足x＞y時，f（x）＞f（y），試回答下列問題：
（1）求f（1）、f（4）；
（2）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）如果f（x）+f（x-3）≤2，試求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件，只需取x=y=1，便可求出f（1），而由f（4）=f（2）+f（2），f（2）=1，便可求出f（4）=2；
（2）根據(jù)f（x）滿足的條件③，根據(jù)增函數(shù)的定義即可得出該函數(shù)為增函數(shù)；
（3）根據(jù)條件及（1）（2），便可由f（x）+f（x-3）≤2得到x（x-3）≤4，再由f（x）的定義域（0，+∞）便可得到不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-3＞0}\\{x（x-3）≤4}\end{array}\right.$，解該不等式組即可得出x的取值范圍．

解答 解：（1）取x=y=1得，f（1）=f（1）+f（1）；
∴f（1）=0；
f（4）=f（2）+f（2）=2；
（2）設(shè)x₁＞x₂＞0；
則根據(jù)條件，f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）根據(jù)f（x）滿足的條件②及2=f（4），由f（x）+f（x-3）≤2得，f[x（x-3）]≤f（4）；
∴根據(jù)f（x）為增函數(shù)得：x（x-3）≤4；
再由f（x）的定義域，便得到不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-3＞0}\\{x（x-3）≤4}\end{array}\right.$；
解得3＜x≤4；
∴x的取值范圍為（3，4]．

點評 考查增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義判斷一個函數(shù)為增函數(shù)的方法，增函數(shù)定義用于解不等式．