Question

【題目】如圖,矩形和梯形所在平面互相垂直， ， , .

（Ⅰ）求證： 平面;

（Ⅱ）當(dāng)的長為何值時(shí),二面角的大小為60°．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（I）由已知中在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，由勾股定理，我們易得EF⊥CE，由矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，可得DC⊥平面EFCB，則DC⊥EF，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到答案．

（II）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB，CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz，設(shè)AB=a，分別求出平面AEF的法向量和平面EFCB的法向量，代入向量夾角公式，由二面角A﹣EF﹣C的大小為60°，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程求出a值．

試題解析：

（1）證明：在中，，，，，

所以.又因?yàn)樵?/span>中，，所以.

由已知條件知，平面，所以.

又，所以平面

（2）如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB，CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．

設(shè)AB=a（a >0），則C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(， 3，0），F（0，4，0）．從而

設(shè)平面AEF的法向量為，由得，

取x=1，則，即.

不妨設(shè)平面EFCB的法向量為，

由條件，得，

解得．所以當(dāng)時(shí)，二面角A-EF-C的大小為60°．