Question

9．各項均為正數(shù)的{a_n}前n項積為T_n=（$\frac{1}{4}$）${\;}^{{n}^{2}-6n}$，b_n=log₂a_n，求{b_n}前n項和S_n最大時，n的值．

Answer 1

分析 通過計算可知當n≥2時a_n=4^7-2n，進而可知數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=4^7-2n，利用對數(shù)的運算性質可知數(shù)列{b_n}是以10為首項、-4為公差的等差數(shù)列，通過配方、計算即得結論．

解答 解：依題意，當n≥2時a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{\frac{1}{{4}^{{n}^{2}-6n}}}{\frac{1}{{4}^{（n-1）^{2}-6（n-1）}}}$=4^7-2n，
又∵a₁=T₁=$\frac{1}{{4}^{1-6}}$=4⁵滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=4^7-2n，
∴b_n=log₂a_n=14-4n，
∴數(shù)列{b_n}是以10為首項、-4為公差的等差數(shù)列，
∴S_n=10n+$\frac{n（n-1）（-4）}{2}$
=-2n²+12n
=-2（n-3）²+18，
∴當S_n取最大值時n=3．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，涉及對數(shù)的運算性質，注意解題方法的積累，屬于中檔題．