Question

4．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{cosα}$+$\frac{{y}^{2}}{sinα}$=1的離心率為$\sqrt{3}$，則sin2α=（　　）

• A． -1
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． -$\frac{4}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{cosα}$+$\frac{{y}^{2}}{sinα}$=1的離心率為$\sqrt{3}$，求出tanα=-$\frac{1}{2}$，利用sin2α=$\frac{2sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：因為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{cosα}$+$\frac{{y}^{2}}{sinα}$=1的離心率為$\sqrt{3}$，
所以$\frac{sinα-cosα}{sinα}$=3，
所以tanα=-$\frac{1}{2}$，
所以sin2α=$\frac{2sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$=-$\frac{4}{5}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線離心率的計算問題．在求雙曲線的離心率時，其關(guān)鍵是求出c，a之間的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率，屬于基礎(chǔ)題．