Question

7．某小型玩具加工廠每天固定投入為250元，每生產(chǎn)x件玩具需要另投入成本為L（x）元．當(dāng)天產(chǎn)量不足80件時(shí)，L（x）=$\frac{1}{3}{x^2}$+10x；當(dāng)天產(chǎn)量不小于80件時(shí)，L（x）=51x+$\frac{10000}{x}$-1450．假設(shè)每件商品銷售價(jià)為50元，且能夠當(dāng)天售完．
（1）寫出每天的利潤P關(guān)于每天產(chǎn)量x的表達(dá)式；
（2）怎么安排生產(chǎn)計(jì)劃，才能使當(dāng)天的利潤P最大？

Answer 1

分析 （1）分兩種情況進(jìn)行研究，當(dāng)0＜x＜80時(shí)，投入成本為l（x）=$\frac{1}{3}$x²+10x，根據(jù)年利潤=銷售收入-成本，列出函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x≥80時(shí)，投入成本為l（x）=51x+$\frac{10000}{x}$-1450，根據(jù)年利潤=銷售收入-成本，列出函數(shù)關(guān)系式，最后寫成分段函數(shù)的形式，從而得到答案；
（2）根據(jù)年利潤的解析式，分段研究函數(shù)的最值，當(dāng)0＜x＜80時(shí)，利用二次函數(shù)求最值，當(dāng)x≥80時(shí)，利用基本不等式求最值，最后比較兩個(gè)最值，即可得到答案．

解答 解：（1）∵每件商品售價(jià)為50元，
∴x件商品銷售額為50x元，
①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，根據(jù)年利潤=銷售收入-成本，
∴P（x）=50x-$\frac{1}{3}$x²-10x-250=-$\frac{1}{3}$x²+40x-250；
②當(dāng)x≥80時(shí)，根據(jù)年利潤=銷售收入-成本，
∴P（x）=50x-51x-$\frac{10000}{x}$+1450-250=1200-（x+$\frac{10000}{x}$）．
綜合①②可得，P（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{x}^{2}+40x-250，0＜x＜80}\\{1200-（x+\frac{10000}{x}），x≥80}\end{array}\right.$；
（2）①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，L（x）=-$\frac{1}{3}$x²+40x-250=-$\frac{1}{3}$（x-60）²+950，
∴當(dāng)x=60時(shí)，P（x）取得最大值P（60）=950元；
②當(dāng)x≥80時(shí)，P（x）=1200-（x+$\frac{10000}{x}$）≤1200-2$\sqrt{x•\frac{10000}{x}}$=1200-200=1000，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{10000}{x}$，即x=100時(shí)，P（x）取得最大值P（100）=1000元．
綜合①②，由于950＜1000，
∴年產(chǎn)量為100件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大．

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題選擇合適的函數(shù)類型的能力，以及運(yùn)用基本不等式求最值的能力．