Question

12．等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AC邊上中點(diǎn)，BD=3，則當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，∠DBC的大小為$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出三角形的各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)BD長(zhǎng)度得到a，b的關(guān)系，利用基本不等式得出三角形面積的最值即三角形的邊長(zhǎng)，在△BCD中利用余弦定理求出∠DBC．

解答 解：以BC所在直線為x軸，以BC邊的高為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（0，b），B（-a，0），C（a，0）．
則D（$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$），∴|BD|=$\sqrt{（\frac{3a}{2}）^{2}+（\frac{2}）^{2}}$=3，整理得9a²+b²=36≥2×3ab=6ab，∴ab≤6．當(dāng)且僅當(dāng)3a=b時(shí)取等號(hào)．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}×2a×b$=ab≤6．∴當(dāng)3a=b時(shí)，△ABC面積取得最大值6．∴a=$\sqrt{2}$，b=3$\sqrt{2}$．
此時(shí)，BC=2a=2$\sqrt{2}$，CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$．
在△BCD中由余弦定理得cos∠DBC=$\frac{9+8-5}{12\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴∠DBC=$\frac{π}{4}$．
故答案為$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式，基本不等式，余弦定理，屬于中檔題．