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【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，右焦點(diǎn)到直線的距離為3．

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求證：直線MN恒過定點(diǎn)．

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由題可知值，由右焦點(diǎn)到直線的距離為3表示，和 構(gòu)建方程組，求得，即可求得橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，即可表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，由，垂直，則將M坐標(biāo)中的k換成，即可表示N點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)坐標(biāo)分別表示與，觀察即可證明.

（1）由題意知，，，，

解得，，．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）顯然直線，的斜率存在．

設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程組，得，

解得，，

所以，．

由，垂直，可得直線的方程為．

用替換前式中的k，可得，．

則，

，

所以，故直線MN恒過定點(diǎn)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知數(shù)列滿足，a1＝1，a2＝，且[3＋（－1）n]an＋2－2an＋2[（－1）n－1]＝0，n∈N*，記T2n為數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公比都是2的等比數(shù)列，則使不等式·<1成立的最小整數(shù)n為（ ）

A.7B.6C.5D.4

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（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求證：直線MN恒過定點(diǎn)．

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（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成角的余弦值；

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【題目】某校要在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設(shè)計(jì)如圖所示，AB為地面，CD，CE為路燈燈桿，CD⊥AB，∠DCE=，在E處安裝路燈，且路燈的照明張角∠MEN=.已知CD=4m，CE=2m.

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(2)求此路燈在路面上的照明寬度MN的最小值.

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（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.

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