Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓截直線所得的線段的長度為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的點，是坐標(biāo)原點，若，判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)橢圓截直線所得的線段的長度為，可得橢圓過點 ，結(jié)合離心率即可求得橢圓方程；

（Ⅱ）分類討論：當(dāng)直線的斜率不存在時，四邊形的面積為 ； 當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由 得 ，代入曲線C，整理出k，m的等量關(guān)系式，再根據(jù) 寫出面積的表達(dá)式整理即可得到定值。

(Ⅰ)由解得

得橢圓的方程為.

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為或，

此時四邊形的面積為．

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程是，聯(lián)立橢圓方程

，

點到直線的距離是

由得

因為點在曲線上，所以有

整理得

由題意四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為

由得, 故四邊形的面積是定值，其定值為．