Question

【題目】已知點(diǎn)為拋物線C:的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線C交于,兩點(diǎn)，如圖．當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，．

（1）求拋物線C的方程；

（2）已知點(diǎn),設(shè)直線PM的斜率為，直線PN的斜率為．請(qǐng)判斷是否為定值，若是，寫出這個(gè)定值，并證明你的結(jié)論；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)可將的坐標(biāo)用含的代數(shù)式表示出來，從而即可建立關(guān)于的方程；（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理說明的值是常量即可．

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（3）利用求得底面積和高即可求解．

試題解析：（1）∵為拋物線的焦點(diǎn)，∴．

又∵與軸垂直，且，∴，又∵點(diǎn)在拋物線上，

∴，∴，∴求拋物線C的方程為；（2）結(jié)論：，為定值，

設(shè)直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)，，

①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，知直線與關(guān)于軸對(duì)稱，∴．

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，直線的方程設(shè)為，

聯(lián)立，得∴，．

又∵，，且， ，

∴

，∵，∴，綜上所述．